2024辽宁省考之公约数与公倍数

一、基本概念

1.约数、倍数：

如果一个自然数a能被自然数b整除，那么称a为b的倍数，b为a的约数。

2.公约数、公倍数：

若一个自然数同时是若干个自然数的约数，则称这个自然数是这若干个自然数的公约数。若一个自然数同时是若干个自然数的倍数，则称这个自然数是这若干个自然数的公倍数。

3.最大公约数、最小公倍数：

若干个数的公约数中最大的一个就称为这若干个自然数的最大公约数。若干个数的公倍数中最小的一个就称为这若干个自然数的最小公倍数。

二、解题方法

(一)求最大公约数的常用方法

1.短除法

最大公约数=2×3=6

2.分解质因数法：

先分解质因数，再将相同的质因数取幂指数最小值连乘到一起

例：162和234的最大公约数为?

A.8 B.12 C.18 D.24

【答案】C

利用分解质因数的方法：所以162和234的最大公约数选择C项。

求最小公倍数的常用方法

1.短除法：

注：多个数短除，要除到两两没有公约数为止

2.分解质因数法：

先把这几个数分解质因数，再将所有的质因数取幂指数最大值连乘到一起，得到的就是这几个数的最小公倍数。

例：某三组小朋友参加趣味运动会，需要分发一千多个比赛用的小球，如果只分给A组，则A组每名小朋友可以得到25块糖;如果只分给B组，则B组每名小朋友可以得到35块糖;如果只分给C组，则C组每名小朋友可以得到42块糖。那么最少再添几个球，能使得小球平均分给三组小朋友?

A.13 B.15 C.17 D.19 【答案】C

根据题意，糖块总数为25、35、42的公倍数，能满足条件的球数只有1050个，则三组小朋友人数分别得到42人、30人、25人，共97人，1050÷97=10…80，所以还需要至少17个球，选择C项。

三、常见应用题型

(一)周期问题

例：小陈和小李本周四于健身房相遇，已知小陈每三天去一次，小李每四天去一次，那么他们下次相遇是周几?

周一 B.周二 C.周四 D.周五

【答案】

小陈每三天去一次，小李每四天去一次，周四相遇到下次相遇经过的天数需要既是3的倍数，又是4的倍数，问题为下次相遇，也就是最短相遇天数，即3和4的最小公倍数12，12÷7=1…5，所以下次相遇为周二，选择B项。

(二)利用最大公约数求公约数的个数

例：张三有36本书，李四有48本书，现准备捐给希望工程，并平均分给几位小朋友，有多少种不同的分法?

A.2 B.3 C.4 D.5

【答案】C

根据题意，所求为36和48的公约数的个数，两者的最大公约数为6，6的约数为1、2、3、6，共四个，所以共有4种不同的分法。选择C项。

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