2025辽宁省考备考之经济利润问题之一元二次函数求极值

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近几年的国考行测中，数量关系基本上至少有一道经济利润问题。经济利润问题作为行测考试中的高频考点，因为涉及到金钱所以常与实际生活相结合进行考查，但很多考生一涉及到金钱问题就傻傻算不清楚，总是跟“钱财”过不去。国考在即，图图老师掐指一算，灵机一动，准备了经济利润问题中的最值优化类的题目给大家学一学。这种一元二次函数求极值的最值优化类题，是一类不学不会、但是一学就会的题型。

在咱们日常生活中，若商品的进价不变，如果商品的售价提高了，利润就变大了，但销量自然而然会下降了;相反，如果商品的售价降低了，利润变少了，销量自然而然就上升了，二者关系成反比例关系，俗称“薄利多销”。转换到我们的行测考试中，就可以这么出题：随着售价的高低起伏，引起销量的降升变化，求总收入或者总利润在什么情况下可以最大化，其实本质就是一个简单的一元二次函数求极值的知识点。

那么，我们一起先看看相关知识点：

一元二次函数：y=ax2+bx+c(其中a≠0，a，b，c为常数)

(一)公式法：

当a>0时，时，y有最小值;

当a<0时，时，y有最大值。

(二)因式分解法：将一元二次式分解成两个一次因式的乘积形式，且两个一次因式相加后和为定值，则令这两个一次因式相等，如此可得极值下的x值。

真题详解：某企业设计了一款工艺品，每件的成本是70元，为了合理定价，投放市场进行试销。据市场调查，销售单价是120元时，每天的销售量是100件，而销售单价每降价1元，每天就可多售出5件，但要求销售单价不得低于成本。则销售单价为多少元时，每天的销售利润最大?

A.100元 B.102元

C.105元 D.108元

【真题解析】

解法一(公式法)：

第一步，本题考查经济利润问题，属于最值优化类。

第二步，设降价了n元，则单件工艺品利润为(120-70-n)元，销量为(100+5n)件。总利润为(50-n)×(100+5n)=-5n2+150n+5000。

第三步，当时，可得最大利润。此时的售价为120-15=105(元)。

因此，选择C选项。

解法二(因式分解法)：

第一步，本题考查经济利润问题，属于最值优化类。

第二步，设降价了n元，则单件工艺品利润为(120-70-n)元，销量为(100+5n)件。总利润为(50-n)×(100+5n)=5×(50-n)×(20+n)，此式在50-n=20+n时取得最大值，此时n=15。

第三步，此时的售价为120-15=105(元)。

因此，选择C选项。

那我们最后再一起巩固一下经济利润问题之最值优化类的相关知识：

①题型特征明显：随售价的高低起伏，引起销量的降升变化，求总收入或者总利润在什么情况下可以最大化的题型;

②技巧性杠杠的：两种方法(公式法 or 因式分解法)。

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