2025辽宁省考备考之行测排列组合题插板法的应用

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基本题型

基本题型为：n个相同元素，不同个m组，每组至少有一个元素;则只需在n 个元素的n-1 个间隙中放置m-1 块隔板把它隔成m 份，求共有多少种不同方法?

其解题思路为：将n 个相同的元素排成一行，n 个元素之间出现了(n-1 )个空档，现在我们用(m-1 )个“档板”插入(n-1 )个空档中，就把n 个元素隔成有序的m 份，每个组依次按组序号分到对应位置的几个元素(可能是1 个、2 个、3 个、4 个、….)，这样不同的插入办法就对应着n 个相同的元素分到m 组的一种分法，这种借助于这样的虚拟“档板”分配元素的方法称之为插板法。

例题：共有10 完全相同的球分到7 个班里，每个班至少要分到一个球，问有几种不同分法?

解析：我们可以将10 个相同的球排成一行，10 个球之间出现了9 个空隙，现在我们用6 个档板”插入这9个空隙中，就“把10 个球隔成有序的7 份，每个班级依次按班级序号分到对应位置的几个球(可能是1 个、2 个、3 个、4 个)，这样，借助于虚拟“档板”就可以把10 个球分到了7 个班中。

基本题型的变形

(1)变形1：有n 个相同的元素，要求分到m 组中，问有多少种不同的分法?

解题思路：这种问题是允许有些组中分到的元素为“0”，也就是组中可以为空的。对于这样的题，我们就首先将每组都填上1 个，这样所要元素总数就m 个，问题也就是转变成将(n+m )个元素分到m 组，并且每组至少分到一个的问题，也就可以用插板法来解决。

例题：有8 个相同的球放到三个不同的盒子里，共有()种不同方法。

解答：题目允许盒子有空，则需要每个组添加1 个，则球的总数为8+3 ×1=11，此题就有C(10 ，2)=45(种)分法了。

(2)变形2：有n 个相同的元素，要求分到m 组，要求各组中分到的元素至少某个确定值S(s>1，且每组的s值可以不同)，问有多少种不同的分法?

解题思路：这种问题是要求组中分到的元素不能少某个确定值s，各组分到的不是至少为一个了。对于这样的题，我们就首先将各组都填满，即各组就填上对应的确定值s 那么多个，这样就满足了题目中要求的最起码的条件，之后我们再分剩下的球。这样这个问题就转变为上面提到的变形1的问题了，也就可以用插板法来解决。

例题：15 个相同的球放入编号为1、2、3 的盒子内，盒内球数不少于编号数，有几种不同的放法?

解析：编号1：至少1 个，符合要求;

编号2：至少2 个：需预先添加1 个球，则总数-1 ;

编号3：至少3 个，需预先添加2 个，才能满足条件，后面添加一个，则总数-2 ;

则球总数15-1-2=12 个放进3 个盒子里，所以C(11，2)=55 (种)。

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